Un petit topo sur les équations différentielles

Je ne suis pas en S mais on m'a demander de faire un topo sur les équations différentielles alors je le fais du mieu que je peux

équations différentielles du premier ordre:

une équation du premier ordre est de la forme:

(E) a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t) (x c'est bien x et pas *)

où a,b,c sont des fonctions dérivables sur l'intervalle I, a ne s'annulant pas sur I.

d'autre forme de (E):

a(t)x'+b(t)x=c(t)

ou

a(t)dx/dt+b(t)x=c(t)

Bon on a notre équation, elle est bien belle, et maintenant on veut la résoudre:

rien de plus simple:

ETAPE 1 : théorème: Les solutions de (E1) sur I sont les fonctions f1 définés sur I par:
f1(t)=ke^-G(t) où G est une primitive de la fonstion t->b(t)/a(t)

exemple:
(E) 2x'+3x=0

a(t)=2 (si vous avez " x'=1x' donc a(t)=1 ")
b(t)=3

b(t)/a(t)=3/2

notre primitive est donc: G(t)=3/2t(simple non?)

on écrit: f1(t)=ke^-(3/2)t

Etape 2:

Il faut chercher la solution particulière de f2 de (E) , généralement la forme est précisée.

exemple:

f2(t)=c(t)+d

elle est solution particulière si et seulement si quelque soit (t) appartenant à R on a :

2f'2+3f2=0

on commence donc par dérivé f2:

f'2=c

on remplace:

2(c)+3[c(t)+d]=0
2c+3c(t)+3d=0

3c=0 c=0
2c+3d=0 d=0

f2=0*(t)+0
f2=0

si on obtient 0, f2 est bien une solution particulière de (E)

ETAPE 3

On écrit les solutions de (E):

f(t)=f1(t)+f2(t)
f(t)=ke^-(3/2)t+0
f(t)=ke^-(3/2)t

pour les équation du second ordre c'est sensiblement la même chose, à l'expection près, on à un polynome du second degrè:


(E1) x"+2x'-3x=0

ETAPE 1
on doit trouvé l'équation caractéristique:

r²+2r-3=0

discriminent:

Δ=(b)²-(4*a*c) avec a=1;b=2,c=-3
Δ=2²+12
Δ=16

delta>0, donc l'équation caractéristique admet deux solutions réelles qui sont:

r1=(-b+√Δ)/2*a
r2=(-b-√Δ)/2*a

on obtient donc f1(t)=Ae^r1(t)+Be^r2(t) (A et B sont souvent remplacé par α et β)voir formulaire de maths

ETAPE 2

Elle ressemble beaucoup à celle vue au dessus:

par exemple:

f2(t)=at²+bt+c

vous le derivé

f2'(t)=2at+b

et vous le dérivé encore

f2"(t)=2a

vous pensez bien à dire que c'est une solution particulière si et seulement si, quelque soit t sur R on obtient; f2"(t)+2*f2'(t)-3*f2(t)=0 (ou autre choses c'est le hasard qui fait que j'ai dans tout mes exemples des "=0")

après on remplace "gentillement" avec les dérivés que l'on avait trouvé au paravant...


vous allez trouvé a=...,b=...,c=...

puis vous les remplacerez dans l'équation de départ f2(t) pour obtenir la solution particulière!

c'est simple comme bonjour!je ne l'ai pas faite celle la donc je n'ai pas la réponse!et j'ai pas le temps, j'ai mes révisions à faire!

ETAPE 3

Les solutions de (E) sont donc les fonctions définies sur R par:

f(t)=f1(t)+f2(t)

désolé panne de souris voila 3/4h pour écrire ça!ouf c'est fini j'espère que sa aideras des personne et si vous voyer des erreur ou vous voulez apporté votre petite contribution allez-y!!